Los díscolos números primos (IV)

 

 

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Los díscolos números primos (IV)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 14/10/09

Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entrega mencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamiento errático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribución sí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad de números primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

Pues bien, el teorema asegura que

es decir, la cantidad de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x) (ln es el logaritmo neperiano). Dicho en palabras más llanas:

• Para un número natural arbitrario N, la probabilidad de que dicho número sea primo es aproximadamente 1/ln(N). Es decir, cuanto más grande sea el número, menos probable es que sea primo.
• Equivalentemente, esto significa que alrededor de N, la distancia media entre dos números primos será ln(N). Por ejemplo, en torno a 1000, aproximadamente uno de cada siete números es primo, mientras que en torno a 1000000 sería uno de cada 14.
• Otra consecuencia inmediata es que el enésimo número primo p_n será de una magnitud comparable a n·ln(n). (El margen de error absoluto es elevado, pero nos sirve para hacernos idea del tamaño del número).

El genial Carl Friedrich Gauss encontró una aproximación aún más exacta usando la función logaritmo integral desplazado Li(x) en lugar de x/ln(x):

Siendo estrictos desde el punto de vista matemático, el límite sólo implica al cociente y no a la diferencia de π(x) con Li(x) ó x/ln(x). Es decir, la resta π(x) – x/ln(x) no se hace arbitrariamente pequeña a medida que nos acercamos a infinito, de hecho crece indefinidamente. Lo que tiende a cero es el error relativo entre la aproximación y la cantidad real de números primos existente.

La imagen que ilustra el post representa todos los números primos hasta 76800: cada píxel negro en la matriz representa un número primo (están ordenados de izquierda a derecha y de arriba a abajo).

Se observa que la densidad de números primos va disminuyendo a medida que los números se hacen más grandes, pero es un descenso muy paulatino. Esto concuerda con los resultados obtenidos, ya que la función logaritmo crece muy lentamente.

Los teoremas de Betrand y Erdős

Son consecuencia directa del teorema de los números primos. La conjetura del matemático francés Bertrand señalaba que para cualquier número natural n mayor que 1, existe un número primo p que cumple n < p < 2n. La demostración llegaría años más tarde de la mano de Chebyshev.

Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1, siempre va a existir al menos un número primo que sea mayor que dicho número y menor que el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay como mínimo un número primo entre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nos ocurra, tan grande como queramos.

Por su parte, el húngaro Erdős sostuvo que para cualquier entero positivo k, es posible encontrar un número N que verifique lo siguiente: para todo número natural n > N existen al menos k números primos. entre n y 2n.

Se trata de una proposición más fuerte que la anterior. Implica que podemos encontrar tantos primos como queramos en el intervalo entre un determinado número natural y su doble, siempre que dicho número sea suficientemente grande.

Los teoremas que hemos comentado en el post pueden parecer bastante áridos y poco interesantes desde un punto de vista práctico. Nada más lejos de la realidad. Ya desde la primera entrega comprobamos que los números primos son infinitos. Con estos resultados, comprobamos "cuán infinitos" son, es decir, tenemos una idea de cuál es la densidad de los números primos. Y como ya habíamos predicho, tiene una regularidad matemática sorprendente.

De todas formas, el siguiente post será de nuevo más "informal", y nos centraremos en algunas propiedades curiosas de la distribución de los números primos.

Imágenes | Wikimedia Commons
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III)

 

 

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El alpinista que descendió reptando y con los tobillos rotos “El Ogro” en el Karakórum.

Una Alucinante Aventura, obtenido de: http://kurioso.wordpress.com/2009/08/21/el-alpinista-que-descendio-reptando-y-con-los-tobillos-rotos-el-ogro-en-el-karakorum/

El alpinista que descendió reptando y con los tobillos rotos “El Ogro” en el Karakórum.

Agosto 21, 2009

La guerra entre hombre y montaña es milenaria. Todavía sobrecogidos por la batalla perdida en elLatok II quiero regalaros una aventura espectacular. Una victoria de un hombre que hizo historia al doblegar una de las montañas más peligrosas del mundo: el “Baintha Brakk” conocida también como ‘El Ogro’, por el respeto que suscita. El británico Doug Scott la coronó por vez primera y , con ambos tobillos fracturados por accidente, la descendió durante 7 días reptando y deslizándose en lo que se considera una de las mayores hazañas del alpinismo.

El Ogro de 7.285 metros visto desde la cumbre oeste

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“El Ogro” es una montaña muy escarpada de 7,285 metros situada en una sub-cordillera del granKarakórum (en turco: “pedregal negro”). Su nombre hace honor a su leyenda y sus formas (su cara este es una gran pared vertical de roca) han intimidado y coqueteado con decenas de alpinistas. Muy pocos osaron desafiarla y la mayoría salieron derrotados en su sometimiento. Sólo 2 expediciones de las más de 20 organizadas a lo largo de la historia han conseguido hollar su cumbre. Doug Scott y su compañero Chris Bonington (dos de los mejores alpinistas de la historia) fueron los primeros en ‘pinchar’ la bandera británica en la cabeza del Ogro. La expedición organizada para el verano de 1977 y que alcanzó la cumbre el 17 de julio la completaban Mo Anthoine , Clive Rowland, Nick Estcourt, y Tut Braithwaite; los mejores alpinistas del momento y que prepararon un ataque conjunto y por varios flancos para intentar doblegar el pico.

Doug Scott descendiendo, ya con los tobillos rotos, el Baintha Brakk . Fuente

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Tuvieron que pasar más de 30 años hasta que otra expedición lograra coronar de nuevo “El Ogro”. El 21 de Julio de 2001 un grupo de alpinistas alemanes (Urs Stöcker, Iwan Wolf, y Thomas Huber) lograron alcanzar la cima pero por una vía mucho más sencilla que la de los ingleses.

El cúmulo de desgracias y accidentes de la expedición pionera convirtieron la empresa en una aventura inolvidable muestra de la tenacidad y empeño de un par de hombres por doblegar a la gran ‘bestia’. El primer intento de alcanzar la cima después de levantar el campo base fue por la perpendicular al gran espolón central. Una pared de roca de más de 1500 metros de altura que intimida sólo con ver su sombra. Al intentar avanzar, el desprendimiento de una piedra impacta en la cadera de Tut Braithwaite produciendo una dislocación y la primera de las bajas de la expedición.

El segundo intento se produciría por el flanco oeste, no tan vertical pero tampoco menos peligroso por la presencia de grandes ‘seracs‘ mezclados con roca y hielo. Por ahí el grupo logro establecer un campamento a 6.400 metros de donde poder organizar el asalto final a la cumbre oeste para más tarde acometer la principal.

Doug Scott en medio de una ventisca. Observar como protegía sus rodillas para los apoyos. Fuente

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A la cumbre oeste partieron Doug Scott, Chris Bonington, Mo Anthoine, Clive Rowland logrando hollarla, no sin dificultades, el 15 de julio. Muy animados por el éxito deciden ‘rapelar’ hasta el collado que separa la cumbre oeste de la principal y vivaquear allí en una cueva de nieve construida por ellos y asaltar la principal a la madrugada siguiente. Mo Anthoine y Clive Rowlandlos abandonarían el intento por falta de energías.

El 17 de julio tras más de 15 horas seguidas de escalada Doug Scott y Chris Bonington hacen cumbre por primera vez en el ‘Baintha Brakk’ sin percatarse que la noche acechaba sin tregua, convirtiendo el descenso hasta el collado en una peligrosa aventura. En el primer rápel Doug Scott se resbala y queda colgado de la cuerda. En el péndulo de recuperación calcula mal y da con sus huesos en las rocas; resultado: gafas rotas, dos tobillos fracturados y la sensación de haber cavado allí mismo a 7.200 metros su tumba. Panorama muy sombrío.

Tras los gritos de dolor el silencio. No podía apoyar los pies de ninguna de las maneras. Por unos instantes Doug pensó que era el final. No habría posibilidad de que su compañero cargara con un inválido hasta el campamento base. Decidió reptar, decidió luchar.

Escenas de la subida al ‘Ogro’. Nada hacía presagiar la aventura que estaba por venir

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A la mañana siguiente, tras dormir en una repisa, Doug y Chris iniciaron un descenso que duraría más de 7 jornadas completas. Su escasa velocidad y la falta de ritmo hizo que sus compañeros del campo dos les dieran por muertos e iniciaran erróneamente la retirada. Sólo sus compañeros Mo Anthoine y Clive Rowlandlos que permanecían aún en el collado, pudieron unirse a la pareja en la parte final del descenso.

Los tramos se combinaban. Unas veces, las menos, Chris cargaba como podía y a sus espaldas con el maltrecho Doug. Otras, Doug se deslizaba sobre sus rodillas y ayudado de la cuerda y la pendienterapelaba muy despacio hacia el vacío. Cuando la pendiente amagaba con suavizarse Doug reptaba con sus codos y se desplazaba, muy despacito, en posición horizontal. Los últimos cinco kilómetros los hizo también a cuatro patas (sobre sus rodillas) destrozándose las rótulas y las muñecas por el inusual rozamiento.

Pero los accidentes no habían terminado. Tras dos jornadas refugiados por una fuerte tormenta en una cueva de nieve y en las que Chris contrajo una severa pulmonía, continuaron con el descenso. Las debilidades del nuevo enfermo le hicieron más impreciso y acabó por romperse un par de costillas en una caída fortuita. Ya eran dos los impedidos.

Al séptimo día llegaron, maltrechos, al campamento base donde todos les daban por muertos, y donde todavía les quedaba por vivir el último contratiempo después de esperar un largo tiempo a las asistencias. Al subir al helicóptero de salvamento, éste se precipitó al vacío sufriendo un aparatoso accidente, afortunadamente sin víctimas pero que demostró que, por esta vez, la suerte acompaño al hombre hasta el final. La batalla con ‘El Ogro’ se había ganado pero la guerra con la montaña sigue aún vigente.

Doug Scott después de descender ‘El Ogro’. Fuente

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Enlaces y fuentes

Doug Scott y su compañero Chris Bonington en la actualidad

Impactado por la reciente tragedia quería escribir algo de montaña en recuerdo de Óscar Pérez. Varios días imaginándome su situación, su eterna espera, su terrible soledad; me dejaron muy tocado. Sólo imaginarme alguna batalla ganada podría compensar el dolor de su memoria. Como siempre y sabiendo de mi desasosiego una gran amiga acudió al rescate y me dio el chivatazo de esta fabulosa historia. Os recomiendo que no la perdáis de vista aunque es complicado. No para (@nonestop) y además es periodista.

Doug Scott y Chris Bonington no terminaron sus carreras como alpinistas en ‘El Ogro’. Todo lo contrario, sólo fue el principio de una de las mejores parejas de escaladores de la historia.Doug Scott también ha escalado el Everest y los“Seven Summits”. Chris ha subido cuatro veces alEverest y por primera vez al Annapurna por la cara sur. Fue nombrado Caballero del imperio Británico. Otras fuentes al servicio de la documentación aquí,aqui, aquí, aquí, aquí y en este libro. En este vídeo podéis ver una reciente entrevista a Doug Scott

Del porque a Newton ya no lo invitan a los cumpleaños

Un momento para distraerse

 

 

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Del porque a Newton ya no lo invitan a los cumpleaños

vía Chistes Geeks de ferticidio el 9/10/09

Cuando era chico… hablo de hace unos 15 años mas menos (Tampoco es tanto che) siempre que habia cumpleaños y teniamos lugar nos encantaba jugar a la escondida. Es por eso que que esta historia me trajo esas añoranzas.

Cierta vez, todos los científicos, ya muertos, que estaban en el cielo, se propusieron jugar a las escondidas. En el sorteo le tocó a Einstein ser el primero en contar.
Al comenzar Einstein su cuenta, todos salieron corriendo en distintas direcciones buscando un escondite.
Todos menos Newton; que se dedicó simplemente a dibujar en el piso un cuadrado de 1 metro de lado y se paró dentro de él. Justo a espaldas de Einstein.

Einstein terminó su cuenta: – …97, 98, 99, 100 – , abrió los ojos, dio media vuelta, y se encontró a Newton parado justo delante de sus ojos.

Einstein dijo: "¡Piedra libre para Newton!, ¡Piedra libre para Newton!"

Newton, negando con la cabeza, dijo:
- Tengo que discrepar. Yo no fui encontrado. Yo no soy Newton.

Ante el estupefacto Einstein, que miraba seriamente a Newton, todo el resto de los científicos salieron uno a uno de sus escondites, entre intrigados y sorprendidos, para finalmente escuchar una explicación de Newton con la que se vieron obligados a coincidir.

Newton dijo:
- Como verán, yo estoy parado en un área de 1 metro cuadrado. Por lo tanto, soy un Newton por metro cuadrado. En definitiva, yo soy Pascal.

Y Einstein, tuvo que volver a contar…

Lo encontre en: MonoArania

 

 

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Los díscolos números primos (III)

 

 

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Los díscolos números primos (III)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 6/10/09

Ya en la anterior entrega hablamos de distintos tipos de números primos con determinadas propiedades matemáticas, y hoy seguimos haciéndolo pero desde un punto de vista más informal. En este artículo veremos que los números primos a veces se comportan de una manera muy curiosa… y que algunos matemáticos tienen demasiado tiempo libre ;)

Como nota matemática, y atendiendo a los comentarios del post anterior: las propiedades que veremos a continuación son, en general, sólo válidas usando la base decimal (mientras que las del post anterior eran universales, un primo de Mersenne siempre lo es independientemente de la base utilizada). En otras bases, también pueden existir primos que cumplan las siguientes propiedades, pero serán otros.

'Omirps'

Se trata de números primos que al darles la vuelta se convierten en otro primo distinto. O por llamarlos de alguna manera, 'primos reversibles'. Al margen de los primos de una sola cifra, los siguientes en la lista son 13 / 31, 17 / 71 y 37 / 73. El 'omirp' más grande que se conoce es 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1, con más de 10.000 cifras.

Primos capicúa

Se trata de números capicúa que además tienen la propiedad de ser primos. A parte de los de una cifra, el más pequeño es 11, los siguientes son 101, 131, 151, 181 y 191. Los primos capicúa no son 'omirps'. La condición para ser 'omirp' es que al darle la vuelta sea otro primo distinto, no el mismo.

Paulo Ribenboim definió en su 'Nuevo Libro de los Récords de los Números Primos' (suponemos que con mucho tiempo libre) los llamados 'primos triplemente capicúa'. Son primos capicúa que tienen n cifras, donde n es un primo capicúa. Además n tiene m cifras, donde m es otro primo capicúa. El ejemplo más pequeño es 10000500001: es primo capicúa, tiene 11 cifras, 11 también es primo capicúa y tiene 2 cifras. Evidentemente 2 también es primo capicúa.

Como anécdota, la palabra capicúa es una de las pocas de la lengua castellana que proceden del catalán, en concreto de la expresión "cap i cua" que significa literalmente "cabeza y cola".

Primos 'repunit'

Se trata de números primos que sólo constan del dígito '1' repetido. De ahí su nombre: repunit = repeated unit. El más bajo es 11, el siguiente es 1111111111111111111 y los siguientes ya tienen 23, 317 y 1031 cifras. No puede existir ningún primo formado sólo por un dígito repetido salvo que este dígito sea un '1'. En cualquier otro caso, sería divisible por un repunit: Por ejemplo, 77 = 11*7. No se sabe si hay infinitos repunits, aunque se sospecha que sí.

Primos permutables

Son los primos que siguen siendo primos si reordenamos sus digitos, de la forma que sea. Todos los permutables son omirps, pero no todos los omirps son permutables (salvo que tengan menos de 3 cifras). Por ejemplo, 107 es omirp ya que 701 es primo, pero no es permutable, ya que 710 es compuesto. El primo permutable más pequeño de tres cifras es 113, ya que 131 y 311 también son primos. Todos los repunits son permutables, evidentemente.

Existen nueve primos permutables de tres cifras: 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991. El siguiente ya tiene ¡18 cifras! y además es un repunit. Se cree que todos los primos permutables de más de tres cifras son repunits, porque de hecho no se conoce ninguno que no lo sea.

Primos truncables

Son los primos que siguen siendo primos si se empiezan a eliminar dígitos por sus extremos. Pueden ser truncables por la derecha, por la izquierda (en este caso no pueden contener ceros) o por ambos lados. Por ejemplo, 3137 es un primo truncable por ambos lados. Por la derecha: 313, 31 y 3 son primos. Por la izquierda: 137, 37 y 7 son primos.

El conjunto de los primos truncables es limitado. El truncable por la izquierda más grande es 357686312646216567629137, por la derecha 73939133 y por ambos lados 739397 (sólo hay 15 primos truncables por los dos lados). Es normal que haya muchos menos primos truncables por la derecha, ya que cada vez que dejamos como último dígito un número par o un '5', sabemos que el número obtenido ya no será primo.

Pimos de Smarandache-Wellin

Son aquellos que están formados por la concatenación consecutiva de los números primos empezando por el menor (es decir, 23571113171923…). Se conocen siete primos de Smardanche-Wellin. los primeros son 2, 23 y 2357. El siguiente tiene 355 cifras y acaba en 719.

Primos diédricos

Ya para el final, mi clasificación favorita y la clara demostración del mucho tiempo libre que tienen algunos matemáticos :). Los primos diédricos son aquellos que, representados en un display de siete segmentos (los típicos números 'hechos con palotes' de las calculadoras) siguen siendo primos si damos la vuelta al display o lo reflejamos en un espejo.

Espero que la imagen que ilustra la entrada aclare este concepto. El número 120121 es un primo diédrico porque, al ser representado en siete segmentos resulta que al rotarlo o reflejarlo de todas las formas posibles seguimos obteniendo números primos, en este caso 150151, 121021 y 151051. Otros ejemplos más pequeños son 2, 5, 11, 101 y 181.

En la siguiente entrega ya dejaremos el tema de los diferentes tipos de números primos y nos adentraremos en algo más interesante como es su distribución.

En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II)
Más información | List of prime numbers

 

 

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Los díscolos números primos (II)

 

 

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Los díscolos números primos (II)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 3/10/09

Continuamos hablando de números primos. En el post anterior vimos su carácter aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que alguien pueda predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos devuelva siempre números primos, y de hecho, se debe verificar computacionalmente si los posibles 'candidatos' a número primo realmente lo son.

Sin embargo, hay ciertos números primos que siguen determinadas fórmulas matemáticas. (Ojo, esto no quiere decir que todos los números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente primos). En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades matemáticas, como veremos a continuación.

Primos de Mersenne

Un número de Mersenne es de forma N = 2^p – 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, de hecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que se conocen son de Mersenne. ¿Por qué?

Para empezar, sólo podemos encontrar un primo de Mersenne a partir de otro primo. Esto ya reduce sensiblemente nuestro campo de búsqueda. Pero además, la fórmula de los números de Mersenne es muy simple, y esto supone que hay algoritmos de búsqueda relativamente sencillos.

En concreto, el más famoso es el algoritmo de Lucas-Lehmer. N = 2^p – 1 es primo si y sólo si es divisor de S_p-2. Los términos de la sucesión S_j se definen por S_j = S_j-1² – 2, con S₀ = 4.

Existe un interesante proyecto de computación colaborativa, llamado GIMPS (Great Internet Marsenne Prime Search), en la que miles de usuarios de todo el mundo colaboran en la búsqueda de primos de Marsenne instalando un programa en su ordenador. No hace falta el supercomputador más potente del mundo, como intuían algunos de nuestros lectores en la anterior entrada. En este caso, la unión hace la fuerza.

De hecho, los nueve primos más grandes conocidos hasta la fecha han sido gracias a la fundación GIMPS, es decir, gracias a miles de usuarios anónimos cediendo una pequeña parte de la potencia de su ordenador para hacer estos cálculos.

Nos podríamos preguntar cuál es la utilidad real de encontrar números primos cada vez más grandes en lugar de dedicar recursos informáticos a otras cosas. Como bien dijo alguno de vosotros en los comentarios del post anterior, los números primos son muy útiles para cifrar información, y cuanto más grandes, mejor. Si usásemos números compuestos, se podría de hecho descomponer el problema en varios problemas más sencillos y mucho más fáciles de resolver.

Primos de Fermat

Son de la forma N = 2²ⁿ+ 1. Sólo se conocen cinco primos de Fermat: 3, 5, 17, 257 y 65537. Estos números tienen una propiedad geométrica muy curiosa: un polígono regular de n lados se puede construir de forma directa con regla y compas si y sólo si n = 2^k·p, donde k es cualquier número entero no negativo y p es un primo de Fermat. Así que no intentéis buscar un método directo para dibujar el heptágono regular, ya que 7 no cumple la condición.

Primos de Sophie Germain y primos seguros

Un número p es un primo de Sophie Germain si es primo y además N = 2p + 1 también es primo. Por ejemplo, el 11 lo es ya que 11·2 + 1 = 23 es primo. En este caso, al número N (por ejemplo, 23) lo llamaríamos 'primo seguro'. Este nombre se debe a que dicho tipo de primos es útil en aplicaciones de criptografía y cifrado. Salvo el 5 y el 7, no existe ningún primo seguro que sea además de Mersenne o de Fermat (los primos de Fermat, comparativamente, serían 'menos seguros' ya que derivan de una fórmula matemática concreta en la que no intervienen otros números primos).

Primos de Euclides

Son los números de forma p# + 1. El número p# es el llamado primorial de p. Sólo un número primo puede tener primorial. El primorial de p estaría formado por el producto de p por todos los primos menores que él. Por ejemplo: el primorial de 5 sería 5# = 5·3·2 = 30. Si nos fijamos en el número primo 31, resulta que 31 = 30 + 1 = 5# + 1, por tanto 31 es un primo de Euclides.

Estos primos están directamente relacionados con la demostración de la infinitud de los números primos dada por Euclides y que vimos en el primer post sobre números primos.

Primos gemelos

Son parejas de primos que están separados por sólo una unidad. Por ejemplo, 3 y 5, ó 17 y 19. Una de las grandes cuestiones de la teoría de números es precisamente saber si existen infinitas parejas de primos gemelos. Intuitivamente, uno tendería a pensar que la aparición de primos es cada vez menos frecuente a medida que los números se van haciendo mayores, por lo tanto debería ser cada vez más difícil encontrar dos primos separados tan solo por una unidad.

La pregunta es, ¿existe realmente algún momento en el que ya no podamos encontrar primos gemelos? no se sabe, pero la mayoría de hipótesis suponen que existen infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esto choque con la intuición, concuerda con las sorprendentes propiedades de la distribución de números primos.

Veremos esto en la cuarta entrega de la serie, pero antes, en el siguiente post, seguiremos viendo más tipos de primos. En este caso, nos acercaremos de un modo informal y veremos números con propiedades curiosas y divertidas.

Imagen | Número de dígitos de los primos de Mersenne conocidos
En Genciencia | Los díscolos números primos (I)

 

 

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Los díscolos números primos (I)

 

 

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Los díscolos números primos (I)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 29/09/09

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que les quiero convencer de una forma tan contundente que quede grabada en sus corazones. El primero es que [...] los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, aparentemente sin obedecer ninguna ley a parte del azar, y nadie puede predecir dónde florecerá el siguiente. El segundo hecho es todavía más sorprendente, ya que implica exactamente lo contrario: los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Don Zagier.

El estudio de los números primos es uno de los campos que más ha apasionado a los grandes matemáticos de la Historia. De caracter aparentemente impredecible, lo cierto es que los primos obedecen muchas leyes y aparecen en muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo con los ordenadores más potentes del mundo se puede seguir prediciendo qué números son primos y cuáles son compuestos.

Euclides enunció hace más de dos milenios el teorema que lleva su nombre y que establece que hay infinitos números primos. La prueba del Teorema de Euclides es muy sencilla:

Supongamos que sólo hay N números primos (siendo N finito), a los que llamamos P₁, P₂, ..., P_N. Imaginemos el número que resulta de multiplicar todos estos números primos y sumale una unidad:

Q = (P₁ · P₂ · ... · P_N) + 1.

El número Q no es divisible por ninguno de los números primos de la lista, ya que al realizar la división el resto siempre es 1. Por tanto, una de dos, o bien Q es primo también, o si no, debe ser forzosamente divisible por otro primo R que no está en la lista [Actualización: el comentario 1 da un buen ejemplo numérico de esto].

No importa lo grande que sea N, por muchos números primos que tengamos, como hemos visto en la demostración de Euclides siempre podremos añadir un nuevo número primo, hasta el infinito.

Por tanto, sabemos que existen infinitos números primos, pero ¿podemos predecir su existencia? la respuesta es no. De momento, no se conoce ninguna fórmula matemática práctica que nos permita predecir que un determinado número es primo. Para cada posible 'candidato' se debe comprobar su primalidad mediante diversos algoritmos de 'fuerza bruta' en potentes ordenadores.

El primo más grande conocido hasta ahora es 2^43112609-1, descubierto el pasado ocho de agosto. Tiene casi 13 millones de dígitos y es un primo de Mersenne. Los nueve primos más grandes que se conocen son de Mersenne. Estos primos siguen determinada fórmula que hace relativamente fácil comprobar su primalidad.

Por tanto, es cierto que existen fórmulas que nos permiten obtener conjuntos limitados de números primos, y que nos dan esos hipotéticos 'candidatos' a número primo. Además, a pesar de su aparente aleatoriedad, los números primos se distribuyen de una forma regular, a veces muy sorprendente. Lo veremos en la próxima entrega.

En Genciencia | Test de primalidad
Más información | The largest known primes

 

 

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Las ondas de radio de las redes inalámbricas permiten ver a través de las pa...

 

 

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Las ondas de radio de las redes inalámbricas permiten ver a través de las paredes

vía Tendencias 21 de Yaiza Martínez el 5/10/09

Investigadores de la Universidad de Utah han desarrollado un sistema que utiliza las señales de radio de las redes inalámbricas para captar el movimiento de las personas que están en el interior de edificios. Así, han creado una novedosa forma de ver a través de las paredes que, además de sencilla y barata, podría resultar de gran utilidad en labores de emergencia. Por Yaiza Martínez.

Científicos de la Universidad de Utah, en Estados Unidos, afirman que la forma en que varían las trayectorias de las señales de radio de cualquier red inalámbrica puede revelar el movimiento de las personas situadas en dicha red, y dentro de un espacio cerrado.

Joey Wilson y Neal Patwari han desarrollado una técnica, denominada "variance-based radio tomographic imaging" (VRTI) o "Tomografía de imágenes basadas en la varianza de ondas de radio", con la que se podría "espiar" los movimientos de las personas que se encuentren en el interior de un edificio con red inalámbrica.

Según informa la revista Technology Review, la técnica ha sido ya probada con una red formada por 34 nodos, de estándar IEEE 802.15.4, que es normalmente utilizado para definir el nivel físico y el control de acceso a redes inalámbricas de área personal con tasas bajas de transmisión de datos. La técnica ha demostrado ser efectiva, aunque puede mejorar.

Variación y localización

La base de dicha técnica es la siguiente: la potencia de las señales de las redes inalámbricas es la suma de todas las trayectorias que las ondas de radio siguen para llegar hasta un receptor.

Los cambios en el volumen de espacio a través del que circulan las señales ocasionan una variación en la potencia de éstas. Estos cambios pueden ser producidos, por ejemplo, por el movimiento de las personas que se encuentren dentro de las trayectorias de dichas señales.

Por tanto, observando el volumen del espacio de muchas señales, que son recogidas por múltiples receptores, es posible construir una imagen de los movimientos que se estén produciendo dentro del ámbito de la red inalámbrica en funcionamiento.

La prueba realizada con la red de 34 nodos se hizo en una sala de 72 metros cuadrados, y permitió localizar objetos en movimiento a un metro de distancia. Los movimientos fueron determinados gracias a un modelo estadístico relacionado con la variación de las localizaciones espaciales.

Según explican los investigadores en un artículo más detallado, avances en los protocolos inalámbricos o en el diseño de antenas, entre otros, mejorarán en el futuro la capacidad de rastreo a través de las paredes con VRTI.

El equipo afirma que el sistema mejoraría también si se utiliza con redes GPS, Wi-Fi o redes celulares.

Diversas ventajas

Esta técnica supone varias ventajas. En primer lugar, su coste. Los nodos de este tipo de redes son en sí baratos, mientras que otros sistemas de espionaje a través de las paredes pueden llegar a costar hasta 100.000 euros. La segunda ventaja es la sencillez, que contrasta con la complejidad de otros sistemas usados para estos fines.

Localizar el movimiento en interiores desde el exterior de un edificio tendría un gran valor en situaciones de emergencia, explican los científicos.

El sistema permitiría, por ejemplo, que la policía, el ejército o los equipos de rescate localizaran a personas de manera segura, sin tener que entrar en espacios peligrosos.

En un escenario imaginario, podrían desplegarse sensores de radio en un edificio, lanzándolos al interior para que los nodos generasen una red y transmitiesen señales a una estación base, para la estimación de las posiciones y de los movimientos de las personas que se encuentren dentro de dicho edificio.

El único problema que supone que se puedan controlar los movimientos de las personas en el interior de los edificios utilizando sólo las tan extendidas redes inalámbricas sería el de la privacidad, advierte Technology Review.

También con radares

La posibilidad de ver a través de las paredes no se limita sólo a la ciencia ficción, como se constata con este descubrimiento.

Anteriormente, habíamos hablado en Tendencias21 de otro sistema capaz de registrar imágenes del interior de los edificios, sin penetrar en ellos.

En este caso, anunciamos la creación, por parte de científicos militares canadienses, británicos, europeos y estadounidenses de un radar de tecnología tridimensional con el que se podía distinguir a personas, contornos de muebles e incluso los planos interiores de los edificios a través de los muros.

Los investigadores señalaron que esta tecnología podría utilizarse a más de 60 metros de distancia del objetivo, y que serviría para localizar y seguir a enemigos escondidos, a personas secuestradas e incluso a gente que quede atrapada bajo una avalancha de nieve o bajo un edificio caído como consecuencia de un terremoto.

(Tendencias21)

 

 

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Desarrollan un software capaz de detectar los plagios musicales

Algo muy interesante

 

 

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Desarrollan un software capaz de detectar los plagios musicales

vía Tendencias 21 de Rubén Caro el 4/10/09

Científicos del departamento de Computación de la Univesidad de Londres y de la Universidad de Hamburgo han desarrollado un software capaz de analizar piezas musicales y evaluar características específicas, para luego compararlas y mostrar las diferencias y similitudes. El software es capaz de analizar cosas como el ritmo, el tono, la cadencia o la melodía. Esta nueva herramienta podría aligerar o poner fin a las disputas sobre plagios en la industria musical. Por Rubén Caro.

El plagio musical en la industria musical actual ha sido fuente de interminables enfrentamientos entre artistas desde que muchos de nosotros tenemos memoria. Seguramente a muchos les pasará bastante a menudo que escuchan cierta pieza musical que les recuerda a otra. Y piensan "pero si es lo mismo, sólo que cambiando un poco el ritmo". O quizá "el ritmo es el mismo, sólo cambia la letra".

Muchas veces, sobre todo cuando la música es más simple y repetitiva, puede resultar bastante difícil distinguir fragmentos aislados de piezas supuestamente distintas. Los artistas tienen verdaderas dificultades para conseguir un sonido diferente a otros con el mismo estilo. Para eso algunos utilizan efectos sonoros novedosos, o distraen la atención de la música con bailes o vestuarios provocativos.

La homogeneidad empobrece la música

Pero el resultado final, y más aún en algunos estilos musicales más limitados, es que todas las canciones tienden a tener el mismo ritmo, o las mismas melodías, o las mismas letras. De ese modo, pese a no denunciarse mutuamente de plagio, la música de ese estilo se empobrece de manera importante. La mayoría de autores de rap o de música máquina , por ejemplo, usan prácticamente siempre los mismos ritmos, las mismas melodías, los mismos vestuarios, los mismos bailes, incluso a veces parece que las letras también son las mismas, pues siempre tratan los mismos temas de manera recurrente. Sin embargo no hay acusaciones masivas de plagio, a pesar de que todos saben que es más de lo mismo .

Algunos artistas tratan de escapar de esta prisión estilística haciendo versiones de canciones más o menos célebres de otro estilo, en lo que no es más que un plagio consentido. Como por ejemplo las versiones hiphop aún recientes de grandes clásicos como 'Roxanne' de The Police, o 'One' de U2 .

Casos de plagio en los tribunales

En otras músicas menos elementales, con más posibilidades creativas, es más difícil que se den situaciones tan evidentes, pero también se dan casos que a veces, estos sí, terminan en los tribunales. Artistas del calado de Madonna, George Harrison o los Bee Gees se han visto públicamente envueltos en escándalos de este tipo. Las cantidad de dinero que está en juego en este tipo de casos es enorme.

Pensando en esos casos que terminan en un juicio, en la conferencia de la Sociedad Europea para las Ciencias Cognitivas de la Música (ESCOM ) de este año, que tuvo lugar en Finlandia, se ha presentado un software capaz de estudiar en profundidad ciertas características básicas de una pieza musical, como pueden ser el ritmo, la melodía, la cadencia, el tono, etc. Esto permite hacer una comparación objetiva entre dos piezas musicales, incluso de estilos distintos, y determinar si hubo plagio o no. Sus autores son el doctor Daniel Müllensiefen, del departamento de computación del Goldsmiths College, en la Universidad de Londres, y Marc Pendzich, del Instituto de Musicología de la Universidad de Hamburgo, que llevan años dedicados a la investigación del reconocimiento y análisis de patrones musicales.

El software implementa varios algoritmos de comparación muy avanzados, basados en métodos estadísticos. En su elaboración se han tenido en cuenta el enfoque que hacen las leyes sobre plagio de EEUU. Y para la preparación del sistema se han usado una colección de 20 casos de denuncia por plagio publicados en los últimos 30 años en ese país.

Un 90% de aciertos, pero los jueces también se equivocan

La finalidad era conseguir un modo objetivo de evaluar la existencia o no del plagio en los casos que llegan a los tribunales de justicia. Estos casos muchas veces se resuelven de manera 'salomónica' o basándose en el juicio arbitrario de una sola persona o de un grupo muy reducido de expertos, lo que conlleva el inevitable problema de afinidad y sensibilidad musical personal que poco tiene que ver con el plagio que se juzga.

Según reza el artículo, el software mostró un 90% de aciertos, entendiendo como acierto el llegar a la misma conclusión que el juez. Dado que en varios de esos casos la sentencia parecía más que dudosa, parece que los resultados son bastante buenos.

Como dice el doctor Müllensiefen en la nota publicada por la universidad: "La pregunta más provocativa que podrías hacer es si este software podría sustituir al jurado o a los expertos en un juicio".

Y continúa: "También, a otro nivel se podría afirmar que el software puede detectar automáticamente plagios en la música popular. Por tanto, a partir de aquí podríamos desarrollar un negocio en el que los escritores de canciones y las empresas editoras de música nos envíen canciones para que nosotros las pongamos a prueba antes de publicarlas, para ver si podrían acusarles de plagio".

El valor de la música viene de los sentimientos que provoca

En fin. Nietzsche dijo una vez que "sin música, la vida sería un error". Y es que el valor de una música no viene de su similitud o diferencia con otras, sino de los sentimientos que provoca al oyente. Hace unos meses se emitió en televisión un interesante documental sobre el efecto de la música en el cerebro humano titulado "The Musical Brain" (El Cerebro Musical). En él hacían uso de la imagen por resonancia magnética funcional para ver cómo se activaban y desactivaban las diferentes áreas del cerebro según la música que escuchaba el dueño del cerebro en cuestión. El sujeto de estudio era el famoso músico británico Gordon Matthew Thomas Sumner, más conocido como "Sting". En el documental, el mismo Sting quedaba asombrado al ver cómo su cerebro disfrutaba escuchando fragmentos de conciertos de música de jazz. Del mismo modo podía observar en una pantalla cómo su cerebro permanecía impasible ante otras músicas o incluso veía cómo sus neuronas se horrorizaban al escuchar una anodina música de ascensor.

(Tendencias21)

 

 

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