Un nuevo sistema permite controlar el móvil con el cerebro

 

 

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Un nuevo sistema permite controlar el móvil con el cerebro

vía Tendencias 21 de Yaiza Martínez el 11/02/10

Cuando creíamos que todo estaba ya inventado en el terreno de los juegos para teléfonos móviles, investigadores de la Universidad de Lancaster, en el Reino Unido, han hecho pública la creación de un nuevo sistema que permite jugar utilizando las ondas beta y alfa del cerebro. Para conseguirlo, basta con adoptar ciertos estados mentales (meditativo o de atención). El logro ha sido posible gracias a la combinación de diversas tecnologías, entre ellas, el MindSet de Neurosky, unos auriculares que "leen" la mente. Por Yaiza Martínez.

Cuando creíamos que todo estaba ya inventado en el terreno de los juegos para teléfonos móviles, investigadores de la Universidad de Lancaster, en el Reino Unido, han hecho pública recientemente la creación de un nuevo sistema que, en el futuro, podría permitir jugar a estos juegos utilizando el cerebro en lugar de los dedos. Según publica la Universidad de Lancaster en un comunicado, el sistema, bautizado como "Brain Maze", supone un gran avance en el control de aplicaciones informáticas mediante la actividad neuronal del cerebro, y podría dejar obsoletas la tradicionales formas de interacción máquina-humano.

El sistema, que ha sido creado por los investigadores de juegos para móviles Paul Coulton y Will Bamford, del InfoLab21, de dicha universidad, combina controles normales y unos auriculares que registran las ondas de actividad cerebral, para producir el movimiento de un cursor en pantalla.

Cómo funciona

Por otro lado, el teléfono está equipado con un acelerómetro (instrumento destinado a medir aceleraciones) que detecta las ondas electromagnéticas del cerebro del jugador.

Dicho acelerómetro es capaz de registrar ondas cerebrales alpha, que son oscilaciones electromagnéticas que surgen de la actividad eléctrica sincrónica y coherente de las células cerebrales de la zona del tálamo, y que están asociadas a estados meditativos; y también ondas beta, relacionadas con un estado de atención.

A partir de la detección de estas ondas, el usuario puede controlar una serie de opciones o "entradas mentales" que forman parte del juego desarrollado.

Así, si los jugadores quieren atravesar dichas entradas, sólo tienen que pensar literalmente en ellas. Aprendiendo a adoptar los estados mentales necesarios durante el juego, se puede controlar éste. Sólo es cuestión de práctica.

Pantallas táctiles obsoletas

El juego ha sido diseñado para un modelo concreto de teléfono móvil, el Nokia N97, que ha sido acoplado a la interfaz MindSet, de la compañía NeuroSky, que consiste en unos auriculares sensibles a las ondas cerebrales y que, por tanto, permiten interactuar con el mundo virtual utilizando el cerebro.

Según escribe el propio Coulton en su blog, gracias a la interfaz de NeuroSky es posible registrar las señales neuronales derivadas de la actividad cerebral del usuario.

La combinación de esta interfaz con el teléfono móvil requiere que los jugadores adopten un estado mental adecuado (atento o meditativo) en ciertos momentos del juego, para controlar accesos de éste con el cerebro, a medida que el juego se desarrolla.

Según Coulton, aunque esta interacción es aún relativamente simple por ahora, abre ya enormes posibilidades para la interacción cerebro-ordenador, que en el futuro podrían desbancar a los actuales medios y hacer que, incluso las pantallas táctiles que ahora nos parecen el último grito, lleguen a resultarnos primitivas.

Nuevo nivel de experiencia

Paul Coulton dirige el Nokia Mobile Experiences Group, encargado de investigar nuevos usos para los teléfonos móviles, más allá de los servicios de mensajería corta (SMS), de llamadas o de captura de imágenes.

Como parte de la Forum Nokia Innovation Network, este grupo se está centrando en diseñar, mejorar y evaluar las más novedosas aplicaciones para móviles, destinadas desde a los juegos para teléfono hasta a las redes sociales.

Según Coulton, mientras que actualmente, sobre todo, lo que más se está promocionando y dando a conocer en el terreno de la telefonía móvil son los dispositivos de pantalla táctil, el juego con control cerebral supone que la experiencia de los usuarios alcance un nuevo nivel, y abre una posibilidad al logro del "santo grial" de la interacción computacional: el control usando el cerebro.

(Tendencias21)

 

 

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21 días con Bing en Android

 

 

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21 días con Bing en Android

vía and.roid.es de carthesian el 30/01/10

A raiz de la notícia de que Apple podría estar hablando con Microsoft para poner Bing en los iPhones como buscador por defecto, decidí el otro día pasar un tiempo usando Bing como buscador en Android para ver qué tal.

Microsoft no tiene una aplicación en el Android Market para buscar con Bing, pero un desarrollador espavilado simplemente ha creado una que es un frame en el que arriba buscas con m.bing.com y abajo hay un anuncio.

No he aguantado 21 días, de hecho algunos días hice trampas y ya me borré la aplicación pero os cuento mis sensaciones:

Búsqueda en general
No sé por qué Bing da los resultados partidos en web, imágenes, noticias, … y de dos en dos. Para ver más de dos resultados hay que clicar en un enlace. Prefiero tener que clicar al buscar imágenes o notícias ya que es menos frecuente. Mejor Google. Además tienes un listado de opciones para ordenar los resultados, todo a un clic.

Buscando locales
Una de las grandes cosas del Google es que pones el nombre de un local (restaurant o comercio) y suele darte los resultados con el teléfono de contacto clicable generando una llamada y también un mapa clicable que te abre Maps y puedes hacer get directions y llegar desde donde estés. Para reservar mesa en un restaurant, es genial. Bing no lo hace, te da la opción de ver imágenes del restaurant que no es nada útil.

Buscando definiciones
Mi ignorancia y curiosidad me hacen buscar definiciones muy a menudo. Para eso está Wikidroid pero si buscas en Google suele también salir arriba la wikipedia entre otras páginas interesantes. Más o menos Bing y Google quedan igual en esto aunque en Google siempre puedes poner define delante de la palabra y obtienes una definición / link a un diccionario o enciclopedia.

Buscando vídeos
Busca el nombre de una canción de moda y google te suele poner el vídeo de YouTube en la primera posición que además se puede reproducir en Android. Con Bing, a veces si, a veces no (con Not Fair funcionó, pero con Amante Bandido, no).

Buscando una dirección
Si pones una dirección, Google te devuelve el mapa y un campo debajo para hacer un get directions. Bing también te devuelve un mapa que si clicas no se amplía ni te abre Maps sino que te lleva a una página con un mapa pequeñito y unas flechas inclicables con el dedo. Gana Google.

Conclusión
A no ser que Bing mejore mucho y además Bing y Apple trabajen en común para integrar el buscador con el sistema iPhone OS, en Android pueden estar tranquilos con seguir usando Google como buscador por defecto. Voy más allá, en mi opnión sería un factor que devaluaría la buena experiencia de usuario que tiene hoy en día el iPhone.

Por si alguien quiere probar, dejo el qrcode de la aplicación Bing para Android (<50 descargas hasta hoy).

 

 

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Desarrollan un sistema de biometría facial que crea un "DNI" del rostro

 

 

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Desarrollan un sistema de biometría facial que crea un "DNI" del rostro

vía Tendencias 21 el 28/01/10

Una investigación en técnicas de biometría facial realizada por científicos de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M) desarrolla un sistema que reconoce un "DNI" del rostro de cada persona con las características más reseñables de su cara con una precisión de hasta un 95 por ciento.

Una investigación en técnicas de biometría facial realizada por científicos de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M) desarrolla un sistema que reconoce un "DNI" del rostro de cada persona con las características más reseñables de su cara con una precisión de hasta un 95 por ciento.

Las técnicas de reconocimiento basadas en los rasgos del rostro, conocidas como biometría facial, suelen basarse en la búsqueda de las diferencias que presenta la cara de una persona con respecto a todas las demás. La investigación que han realizado estos investigadores, en cambio, aborda el problema desde un punto de vista un poco distinto. "La diferencia entre nuestro trabajo y la mayoría de los que aparecen en este campo es la idea de modelos individualizados", explica uno de los autores de la investigación, el matemático David Delgado Gómez, del Departamento de Estadística de la UC3M. "Nuestro objetivo - continúa - es crear un modelo para cada persona que remarque las características más discriminantes de cada rostro, como una especie de 'DNI' facial".
Video de la noticia

No puede visualizar el video, necesita el software Flash Player

A los investigadores se les ocurrió esta idea al pensar en la situación en la que hay muchas personas en una sala y alguien llega preguntando por una de ellas. "Nuestra forma de describirla sería mediante algunas características que el resto no posea, como por ejemplo la mujer alta de ojos azules o el chico calvo con barba. Intentamos aplicar esta idea a nuestro algoritmo", comenta el profesor Delgado, que ha desarrollado esta investigación junto con Federico Sukno, Kaushik Pavani y Alejandro Frangi, del grupo CISTIB de la Universidad Pompeu Fabra de Barcelona, y Bjarne Ersboll y Jens Fagertun, del grupo de modelaje matemático de la Universidad Técnica de Dinamarca, que han publicado recientemente un artículo, titulado "Similaruty-based Fisherfaces", con algunos resultados de su investigación en la revista científica Pattern Recognition Letters.

Elementos básicos

Un sistema de biometría facial consta normalmente de tres componentes. Por una parte, hace falta una cámara que registre una imagen; en segundo lugar, es necesario un software, un programa que determine si en esa imagen aparece alguna cara localizando, entre otras cosas, la geometría del rostro (la disposición de los ojos, nariz, boca, etc); y en tercer lugar, un sistema que sea capaz de clasificar todos esos elementos para diferenciar entre unas y otras personas. La parte más complicada, según los investigadores, es cuando tuvieron que combinar la geometría y la textura de la cara. "Con sólo la información geométrica se obtienen clasificaciones muy bajas, por lo que combinamos esta información con la proveniente de las texturas para obtener un modelo más robusto y se nos ocurrió una forma estadística de combinarlas que dio buenos resultados", señala Delgado. Los investigadores han comprobado que cuando este sistema se utiliza en un entorno controlado puede alcanzar el 95 por ciento de precisión.

La principal complicación a la hora de utilizar este tipo de sistemas es la iluminación, que puede cambiar el color de la cara. Otro de los retos a los que se enfrentan es el paso del tiempo, porque según va envejeciendo la persona puede ir cambiando el rostro, engordando o adelgazando, apareciendo arrugas, lo que puede engañar a los clasificadores. En cambio, indican los investigadores, tiene una gran ventaja frente a otros sistemas biométricos: no necesita la interacción directa de la persona, como ocurre con la identificación por huella dactilar o por el iris, por ejemplo.

(Tendencias21)

 

 

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Los extraterrestres no pueden oírnos

Fuente original: http://www.abc.es/20100127/ciencia-tecnologia-espacio/extraterrestres-pueden-oirnos-201001271435.html

El prestigioso científico Frank Drake, que comenzó la búsqueda de vida inteligente en otros planetas, advierte de que las señales de radio y televisión digitales «nos hacen invisibles» en el universo

En la película «Independence day», los extraterrestres descubrían nuestro planeta por las señales de radio y televisión... analógicas / ABC

ABC.es | MADRID

Actualizado Jueves , 28-01-10 a las 11 : 27

Hacemos demasiado ruido para que alguien nos escuche desde otro planeta. Según Frank Drake, el mítico científico fundador del proyecto de Búsqueda de Inteligencia Extraterrestre (SETI, por sus siglas en inglés) en la década de 1950 y creador de la «Fórmula de Drake» (que intenta determinar el número de civilizaciones extraterrestres en condiciones de emitir señales), la digitalización de las señales de radio y televisión nos están haciendo prácticamente invisibles para una posible civilización extraterrestre que esté esperando un «hola».

La televisión analógica, las transmisiones de radio y de radar, entre otras, son detectables desde varios sistemas estelares vecinos. Si alguna civilización extraterrestre observase estas emisiones, se daría cuenta que en este lugar del Sistema Solar está ocurriendo algo muy poco común. Los programas de radio y TV delatarían nuestra existencia. Sin embargo, en el mundo de hoy estas señales delatoras están desapareciendo. Los recientes «apagones analógicos» y la proliferación de los contenidos de pago -que generalmente se transmiten codificados- convierten nuestras emisiones en algo mucho más parecido al ruido. Si un extraterrestres sintoniza sus equipos espías en las frecuencias que utilizamos actualmente, es muy posible que no pueda obtener nada en claro, según explican en el canal de ciencia y tecnología NeoTeo.

Menos potenciaFrank Drake está convencido de que si existen seres extraterrestres lo bastante evolucionados deben de estar buscando vida en otros planetas, al igual que nosotros. El científico, que actualmente se dedica a la búsqueda de señales ópticas de origen extraterrestre y colabora en el diseño de telescopios como el Allen Telescope Array (ATA, o Matriz de Telescopios Allen) de California, también hace notar que la digitalización de los contenidos ha servido para disminuir en forma notable la potencia de nuestras emisiones.

Antes, dice Drake, antes, si queríamos que los televidentes consiguiesen una imagen clara en sus receptores, necesitábamos estaciones capaces de emitir señales analógicas con una potencia de casi un millón de vatios. Los protocolos de corrección de errores y la naturaleza de los sistemas digitales hacen que puedan recrearse imágenes de mucha calidad con una potencia cientos de veces menor. Justamente, la reducción de costos y el aumento de la calidad de las transmisiones son dos de los factores más importantes que impulsan la conversión de todas nuestras señales al formato digital. Además, los satélites actuales apuntan la mayoría de sus emisiones a la Tierra sin que escape casi nada al espacio sideral.

ET ya debe de estar teniendo problemas para detectar las débiles señales digitales que generan la televisión, la radio y los radares actuales. «Si eso continúa, nuestro mundo será imposible de detectar», ha dicho Drake en una conferencia de la Royal Society para el Avance de la Ciencia Natural que se inauguró el lunes pasado.

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Wolfram|Alpha, el buscador científico definitivo

 

 

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Wolfram|Alpha, el buscador científico definitivo

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 8/11/09

Pocas páginas web me han sorprendido tanto últimamente como Wolfram|Alpha. Mientras la gente sigue embelesada con productos tan simples como twitter, el lanzamiento de Wolfram|Alpha el pasado mayo pasó casi inadvertido.

¿Por qué es tan especial? Se trata de lo que ellos denominan como 'buscador de conocimiento'. Wolfram|Alpha puede recibir como búsqueda una frase literal (en inglés, eso sí) e interpretar los cálculos necesarios. Por ejemplo, "weather in Barcelona on the 25th of July of 1992" ("tiempo en Barcelona el 25 de julio de 1992") da como resultado que la temperatura promedio fue 25 ºC, la mínima 20, la máxima 29, el viento era de 3 m/s y hubo nubosidad intermitente. Nos mostrará además un cronograma con la evolución de la temperatura y la humedad durante las 24 horas.

Podemos realizar cientos de consultas como "life expectancy in Mexico" para conocer la esperanza de vida en México o "GDP per capita Spain, France, Portugal" para comparar la renta per cápita entre España, Francia y Portugal. Pero sin duda, lo mejor llega cuando entramos en las Matemáticas.

Y es que aquí, Wolfram|Alpha (basado en el conocido programa Mathematica) es sencillamente espectacular. Se pueden calcular integrales como "integral(cos x / (1 + (sen x)^2))" y la web no sólo nos devolverá la fórmula de la integral indefinida, sino el desarrollo de los pasos que debemos seguir para calcularla. Si quisiésemos calcular la integral definida entre 0 y π bastaría probar "integral(cos x / (1 + (sen x)^2)) from 0 to pi".

También podemos realizar cálculos mucho más complejos, como ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, "(t2 + 2*t*y)*y' – y2 = 0" (importante no olvidar los '*' de las multiplicaciones, el algoritmo se suele hacer un lío cuando faltan). Nos puede servir para sumar series infinitas, como "1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...", o un sistema de ecuaciones, por poner un ejemplo "3x + y = 2, y^2 – x = 3".

También valen las preguntas de carácter teórico. Probad por ejemplo con "Prime Number Theorem", "repunit prime" o "Goldbach conjecture", tres temas de los que hemos hablado en la serie sobre números primos.

Podemos realizar prácticamente cualquier tipo de consulta relacionada con las matemáticas aplicadas, desde estadística ("normal distribution, mean=40, sd=10, probability x < 20") hasta astrofísica ("Gravitational force Sun Saturn"). Algunas aplicaciones son hasta divertidas, como por ejemplo convertir cualquier texto a código de barras (probad "barcode Genciencia" ;)).

En definitiva, aunque aún está por pulir (aparentemente se pueden hacer 'búsquedas intuitivas' pero hay gran cantidad de errores de interpretación con la sintaxis), el potencial de Wolfram|Alpha es enorme. Es como el famoso programa Mathematica pero gratuito, disponible para todo el mundo en Internet, y además añadiendo búsquedas semánticas e impresionantes bases de datos sobre climatología, indicadores socioeconómicos, historia, geografía, etc.

Para mí, lo mejorcito de 2009 en el mundillo de la 'web 2.0' sin ningún genero de dudas. Aunque a los 'mass-media' sólo llegan noticias sobre la última actualización estúpida del tuenti o el twitter, esta herramienta tiene unas posibilidades infinitas para la enseñanza científica o incluso para el disfrute personal de amantes de la Ciencia como nosotros.

Sitio oficial | Wolfram|Alpha

 

 

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Los díscolos números primos (VIII)

 

 

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Los díscolos números primos (VIII)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 15/11/09

En la anterior entrega de la serie hablamos de la Conjetura de Goldbach, que asegura que cualquier número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Aunque aún no se ha podido demostrar, se cree que es cierta. Existe otra conjetura muy famosa sobre los números primos que es la que presentamos hoy.

Conjetura de los primos gemelos

Recordemos (como vimos en el segundo capítulo) que los primos gemelos son aquellos que están separados tan solo por una unidad. Por ejemplo, 11 y 13. Según la conjetura:

Existen infinitas parejas de primos gemelos

Se trata de un enunciado apócrifo, pero que al igual que la conjetura de Goldbach, ha atraído durante años la atención de muchos de los mejores matemáticos.

Intuitivamente, podríamos estar tentados de pensar que es improbable que haya infinitos primos gemelos. Sabemos que la distribución de los números primos es cada vez menos densa, es decir, los números primos están, en general, cada vez más separados entre sí, de hecho, su separación promedio es ln(N). Por ello el sentido común nos dice que para cantidades elevadas sería prácticamente imposible encontrar dos primos separados por tan solo una unidad.

Y sin embargo, se han encontrado primos gemelos extraordinariamente grandes. A día de hoy, los más grandes que se conocen son 65516468355 · 2³³³³³³ ± 1. Tienen la friolera de 100355 dígitos. En realidad, se cree que la conjetura es correcta y se han dado pasos importantes hacia su demostración.

Teoremas de Brun y de Chen

Viggo Brun consiguió demostrar que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (es decir, (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ...) converge a una determinada constante. Si dicha constante fuese irracional (cosa que aún no sabemos), esto implicaría la certeza de la conjetura.

Paul Erdős demostró que existen infinitos primos que cumplen que p' – p < c·ln(p), siendo p y p' dos primos consecutivos. En 2005 se demostró que la constante c puede ser arbitrariamente pequeña. Esto no demuestra necesariamente la conjetura (ya que equivalentemente p puede ser arbitrariamente grande), pero nos deja prácticamente a las puertas.

Reforzando la idea de que la conjetura es cierta, el 2º Teorema de Chen afirma que existen infinitas parejas de números p y p + 2, donde o bien los dos números son primos (es decir, serían primos gemelos) o bien uno de los dos es primo y el otro es semiprimo (es decir, producto de dos números primos).

Constante de los números primos y conjetura de Hardy-Littlewood

Se define la constante de los números primos como

C₂ = Π_p≥3 (1 – ¹/_(p-1)²) = 0,6601618158…

donde p son los números primos (mayores o iguales que 3) y el operador Π representa el producto de infinitos factores.

Pues bien, si llamamos π₂(x) al número de parejas de primos gemelos menores que x, la conjetura de Hardy-Littlewood asegura que π₂(x) ~ 2·C₂·Li(x) (donde la función Li(x) es el logaritmo integral desplazado que ya introdujimos en el cuarto capítulo). Precisamente el gráfico que ilustra la entrada es la representación de π₂(x) hasta x = 100000.

Si esta conjetura fuese cierta, también sería cierta la conjetura de los primos gemelos, ya que π₂(x) podría crecer indefinidamente. Sin embargo, no se ha llegado a demostrar (aunque sí a justificar su resultado).

Como veis, el tema de los números primos sigue dando de sí. Estoy pensando aún de que tratará la novena entrega, que quizá sea la última. No me atrevo a garantizarlo, porque inicialmente la serie iba a tener tres o cuatro posts y ya veis donde estamos ahora :)

Imágenes | Wikimedia Commons
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII).

 

 

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Los díscolos números primos (VII)

 

 

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Los díscolos números primos (VII)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 2/11/09

En la anterior entrega de la serie prometíamos habloar de una de las grandes cuestiones sin resolver de las matemáticas, que está relacionada con los números primos. Como quizá muchos hayáis adivinado, me refería a la…

Conjetura de Goldbach

En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

Euler contestó que lo consideraba como un teorema completamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.

De momento, se ha comprobado empíricamente, com métodos de computación distributiva, que todos los pares menores que 10¹⁸ cumplen la conjetura. Estadísticamente, sería toda una sorpresa que algún número mayor no cumpliera la conjetura, ya que (como se aprecia intuitivamente) cuanto mayor es el número más posibilidades existen de descomponerlo en sumandos primos.

La imagen que ilustra la entrada precisamente muestra la cantidad de posibilidades que tenemos para escribir un número par (entre 4 y 1000) como suma de dos primos. Bajo estas líneas, tenemos la misma imagen pero llegando hasta un millón.

Se aprecia la tendencia de que cuanto más grande es el número más posibilidades existen de escribirlo como suma de dos números primos. De hecho, del Teorema de los Números Primos se puede llegar a la conclusión de que el número de posibles combinaciones de dos sumandos primos para un número par n sería del orden de n / (2·ln²n).

Con estos datos en la mano, sería una rareza estadística de gran magnitud pensar que podemos encontrar un número par mayor que 10¹⁸ que no cumpla la conjetura de Goldbach (comparable a la de los infinitos monos que aporrean aleatoriamente máquinas de escribir, y que consiguen escribir, por completo azar, una obra de Shakespeare). Y sin embargo, aunque la probabilidad sea minúscula, técnicamente es posible hasta que alguien demuestre fehacientemente lo contrario.

Remarcamos un detalle: los dos primos a los que se refiere el teorema no tienen por qué ser necesariamente distintos, puede ser el mismo sumando repetido, por ejemplo 4 = 2+2. Además, 4 es el único caso donde puede aparecer el sumando 2 (¿por qué? os lo dejo como pasatiempo, es muy fácil). De modo que podríamos modificar el teorema del siguiente modo:

Todo número par mayor que 4 puede escribirse como la suma de dos números primos impares

Conjetura débil de Goldbach

Se trata de una hipótesis que Goldbach formuló previamente a la anterior. Asegura que

Cualquier número impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares

Se le llama 'débil' porque puede ser demostrada a partir de la original (o 'fuerte'), pero no al contrario. Si suponemos válida la conjetura fuerte, es muy sencillo: como cualquier número par mayor que 4 puede ser escrito como suma de dos primos impares, sumando el 3 (que es otro primo impar) obtendremos cualquier número impar mayor que 7.

Se ha demostrado matemáticamente que la conjetura débil es cierta para números mayores que 10¹³⁴⁶. Bastaría comprobar todos los impares menores para darla como válida y convertirla en teorema. Sin embargo, este número es demasiado grande como para intentar comprobaciones de fuerza bruta.

Se ha demostrado también que la Hipótesis Generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. Esto reduciría mucho el campo de búsqueda. Pero la hipótesis de Riemann es precisamente otra de las grandes incógnitas de las matemáticas, tan difícil de demostrar como la de Goldbach.

Demostración de la conjetura de Goldbach

Aunque nadie ha dado con la clave de una demostración universal, son muchos los matemáticos que dedican sus investigaciones a ello, y han alcanzado resultados prometedores. Lo que sí ha quedado demostrado es que la proporción de números que pudieran no cumplir la conjetura tiende a cero a medida que avanzamos hacia cantidades más grandes.

En la literatura, sin embargo, son varias las menciones a matemáticos que creen haber demostrado la conjetura. La novela griega 'El tío Petros y la conjetura de Goldbach' alcanzó fama mundial cuando los editores de la traducción inglesa ofrecieron un millón de dólares a quien pudiese demostrar la conjetura en un plazo de dos años. El premio quedó desierto.

La sorprendente película española 'La habitación de Fermat' está protagonizado por un joven matemático que cree haber demostrado la conjetura pero al que le han robado los papeles donde contenía sus cálculos.

Sin embargo, libros y películas al margen, el problema continúa sin resolver. En el próximo capítulo, continuaremos por esta senda de misterios matemáticos.

Imágenes | Wikimedia Commons
Más información | Herramienta para descomponer números en dos sumandos primos
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI).

 

 

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Los díscolos números primos (VI)

 

 

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Los díscolos números primos (VI)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 25/10/09

Tras una semana de ausencia, llega una nueva entrega de la serie sobre números primos. Hoy hablaremos de algoritmos para extraer, de forma gráfica, todos los números primos por debajo de un umbral dado.

Esta vez no habrá densos teoremas ni fórmulas matemáticas, ya que se trata de dos algoritmos muy sencillos y antiguos: la Criba de Eratóstenes y la Criba de Euler. En algunos textos se usa la expresión 'tamiz' o 'filtro' en vez de 'criba'. Viene a ser lo mismo.

La Criba de Eratóstenes

Se trata de un algoritmo eficiente para calcular los primos hasta el orden de 10⁷ (es decir, diez millones). Su filosofía es muy sencilla, se basa en ir tachando los números compuestos hasta que en un momento dado podemos garantizar que todos los que quedan son primos.

¿Cómo? es muy simple. Supongamos que queremos calcular todos los primos menores que N. Hacemos una lista con todos los números naturales entre 2 y N. El primer número de la lista (2) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 2 (es decir, todos los pares).

Volvemos al principio: el primer número sobrante (3) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 3 (es decir, uno de cada 3 números). Ahora, al llegar al principio de la lista, 4 está ya tachado (es múltiplo de 2). El primer número sobrante que encontramos es el 5, pues también lo marcamos como primo y repetimos el proceso.

¿Cuándo podemos detener el proceso? iremos avanzando al principio de la lista hasta que llege el turno de comprobar un número p que cumpla p² > N.

Es muy sencillo de entender con el ejemplo gráfico que mostramos para calcular todos los primos hasta 120. Tachamos los múltiplos de 2, luego los de 3, los de 5, los de 7, y el siguiente paso sería tachar los múltiplos de 11. Pero 11² = 121, que es mayor que 120. Llegados a este punto ya podemos parar el proceso, todos los números que queden sin tachar son primos.

Este algoritmo es bastante fácil de implementar en los lenguajes de programación habituales y por lo tanto es bastante popular. Sin embargo, como hemos dicho, para umbrales muy grandes deja de ser eficiente y es mejor utilizar otro tipo de métodos de cálculo.

No quiero dejar pasar la ocasión de mencionar que Eratóstenes fue una de las mentes más brillantes de la época clásica. Su mayor hazaña es estimar el radio de la Tierra en el siglo III a. C., obteniendo un resultado con un margen de error inferior al 2% sobre su valor real.

La Criba de Euler

Se trata de una versión refinada de la anterior. No es inmediata desde el punto de vista gráfico, pero sí es más eficiente computacionalmente, ya que cada número compuesto es 'tachado' una sola vez.

Por simplificar las cosas supondremos el mismo ejemplo numérico que antes, es decir, N = 120. Empezamos por el primer número de la lista, 2. Lo marcamos como primo. Ahora multiplicamos todos los números de la lista por 2 (vamos obteniendo 4, 6, 8, 10…) hasta que el producto sobrepase N (es decir, hasta llegar a 61·2 = 122). Tachamos todos los números obtenidos.

En nuestra lista nos han quedado 3, 5, 7, 9, etc., hasta 119. Volvemos al principio. Marcamos el 3 como primo y multiplicamos 3 por todos los números que quedan sin tachar (obtenemos 9, 15, 21…), hasta sobrepasar el 120 (es decir, hasta 41·3 = 123). Eliminamos los productos obtenidos.

En este momento ya sólo nos quedan 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc., hasta 119, que no fue eliminado en el paso anterior. Marcamos el 5 como primo y repetimos el proceso (obtenemos 25, 35, 55, 65…) hasta llegar a 25·5 = 125. Quitamos todos estos.

Nuestra lista es ya muy reducida. Repetimos la operación con el 7, obtenemos 49, 77, etc., hasta que llegamos a 19·7 = 133. El siguiente número a comprobar sería 11, pero como 11² = 121, ya hemos terminado el proceso, y todos los supervivientes son primos.

En la siguiente entrega (¿será la última?) hablaremos de un tema fascinante, uno de los mayores misterios sin resolver de las Matemáticas. Y como no podía ser de otra forma, está relacionado con los números primos.

Imágenes | sxc.hu, Wikimedia Commons
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V).

 

 

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Los díscolos números primos (V)

 

 

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Los díscolos números primos (V)

vía Genciencia de Ignacio Munguía el 18/10/09

Nuestro anterior post hablaba de la distribución de los números primos, en concreto, del Teorema de los Números Primos, que nos da una idea de con qué frecuencia aparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasión toca hablar de propiedades curiosas de la distribución de los números primos. Y es que, a veces, colocándolos de una forma determinada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulam descubrió esta espiral de casualidad. Aburrido durante una conferencia, empezó a organizar los números naturales en una espiral, empezando con el número uno en el centro, tal y como se muestra en la imagen. Después, rodeó con un círculo todos los números primos, y observó un hecho sorprendente.

¿Habéis hecho la prueba? ¿notáis algo especial? tal vez no se aprecie en un primer vistazo, pero si se observa con atención… parece que los números primos aparecen en determinadas diagonales. Y en efecto, podemos ampliar la espiral tanto como queramos y nos daremos cuenta de que los números primos tienden a aparecer con mucha más frecuencia en determinadas diagonales.

Vemos en la imagen una espiral de Ulam de 200×200, donde aparecen representados 40000 números. Los primos están marcados con píxeles negros.

El resultado es de gran trascendencia, y llegó a aparecer en la prestigiosa revista Scientific American. Se puede comprobar que este tipo de diagonales aparecen aunque iniciemos la espiral en un número que no sea 1.

Analizándolo matemáticamente, esto implica que existen muchas constantes a y b tales que los números generados por la fórmula 4n² + an + b son primos en una proporción inusualmente elevada. Este hecho no tiene una explicación matemática aparente.

La espiral de Sacks

Se trata de una variante de la anterior. En lugar de colocar los números formando una 'espiral cuadrada' como en el caso de Ulam, se colocan en forma de espiral de Arquímedes. Y sorprendentemente, de nuevo aparecen determinadas líneas con una alta densidad de números primos, incluso de forma más notoria.

Las curvas corresponden a determinados polinomios. Una de ellas contiene los primos de la forma n² + n + 41. Ya en el siglo XVIII el gran Euler se dio cuenta de que ese polinomio 'generaba' una cantidad sorprendentemente alta de primos.

Estos curiosos descubrimientos son relativamente recientes. La espiral de Sacks data de 1994 y la de Ulam de 1963. Quién sabe qué otras sorpresas no descubiertas aún nos pueden deparar los números primos.

Por cierto, para todos los que estéis ya aburridos de tanto número primo, la serie ya se está acercando a su fin ;)

Imágenes | Wikimedia Commons
Más información | The Sacks Number Spiral
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV).

 

 

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